Tales vs La gran Pirámide

Muy buenas.

Hoy vamos a hablar de un hito en la historia de la ciencia, en el que nació el famosísimo Teorema de Tales. Esta historia se sitúa en el siglo VI a.C. en Egipto. El matemático griego Tales de Mileto (620-540 a.C) trató de calcular la altura de la Gran Pirámide de Guiza con increíble ingenio y utilizando como instrumento un palo. 

Existen varias posibilidades y dos son los relatos fundamentales que narran cómo pudo hacerlo, aunque todas utilizan el mismo principio matemático. Comenzamos con el que se piensa que es el más probable. Así es como Tales calculó la altura de la pirámide, según el relato de Plutarco (siglo II a.C.).

Gran Pirámide de Guiza.

Como os imagináis, en aquella época no podía medirse la altura de una pirámide directamente, como lo haríamos hoy, así que Tales tuvo que ingeniárselas de algún modo. Para ello no utilizó herramienta alguna, salvo un palo y algún dispositivo para medir. La idea era clavar el palo en el suelo y medir la longitud de la sombra que generaba el palo y la pirámide. Pero no vale cualquier sombra, sino la que proyecte una sombra perpendicular a uno de los lados de la pirámide, es decir, al mediodía. Además, para que haya sombra los rayos de sol deben ser más inclinados que la de las caras de la pirámides, así que solo es posible en ciertos meses del año: desde octubre hasta febrero. Comentar que la Gran Pirámide está construida de manera que cada una de sus caras está alineada con cada uno de los puntos cardinales, esto hace posible la perpendicularidad de proyección que buscábamos.

Tales pensó que había cierta relación entre la sombras proyectadas y las alturas del palo y la pirámide, ya que forman triángulos con cierta relación. 

Y de esta expresión, lo único desconocido es la altura de la pirámide. Despejándola, obtenemos la solución al enigma. El único problema (aunque pequeño) es calcular la longitud de las sombras. La sombra proyectada por el palo es fácil de medir, y la de la pirámide es simplemente la distancia desde la punta de la sombra hasta la base de la pirámide más la mitad del lado de la pirámide. 

Era importante que el sol estuviese perpendicular a una de las caras, porque la sombra proyectada es fácilmente medible, como ya hemos comentado. De otra manera, la sombra estaría ladeada y no hubiera sido posible medirla.

A la expresión utilizada es la que hoy llamamos Teorema de Tales, que viene a ser enunciado de una manera sencilla: En dos triángulos semejantes, los lados son proporcionales entre sí. Y dos triángulos son semejantes sí, si sus ángulos son iguales. En nuestro caso, existe un ángulo recto, formado por el palo y la pirámide y el suelo y los otros dos deben ser iguales, ya que son consecuencia de la proyección del sol.

Con una idea similar a esta, posteriormente Diógenes Laercio (siglo II d.C.), narra el relato de cómo Tales pudo calcular la altura de la Gran Pirámide, en el momento en el que la longitud de la sombra de un hombre es igual a la altura del propio hombre. Es decir, habrá ciertos momentos del año (en el mediodía también, porque seguimos queriendo que la sombra sea perpendicular a una de las caras) en que la sombra proyectada de un cuerpo será en longitud, exactamente igual a la altura del cuerpo. En ese mismo día, cuando veamos que la longitud de nuestra sombra mide exactamente igual a nuestra altura, entonces la altura de la pirámide será la longitud de su sombra, que mediríamos como antes. En este caso el problema principal reside en averiguar qué día ocurre que la sombra proyectada tiene la misma longitud que el cuerpo. Se puede suponer que Tales, como buen astrónomo que era, sabía que días del año eran esos, aunque esto no puede ser sabido hoy.

Ciertamente, la primera idea parece más factible, ya que se puede llevar a cabo cualquier día en un rango de 4 meses. Sin embargo en este caso también estamos suponiendo que Tales sabía que al mediodía, la sombra proyectada de la pirámide es perpendicular a una de las caras. ¿Habría una tercera forma que él pudiera lleva a cabo para resolver el problema sin saber nada de eso? Pues sí que la hay. Fijate en la siguiente figura:

En este método alternativo, habría que esperar a que la sombra fuera tal que la imagen, lo que podría ocurrir cualquier día. En este caso nos interesa saber la distancia AE y seguro que serás capaz de plantear la siguiente expresión, utilizando el teorema de Tales:

Como lo conocemos todo menos la distancia AE, podemos calcularla fácilmente con la anterior expresión. Pero hay un problema: en teoría no sabemos donde este el punto C, porque todo es sombra en ese lado de la pirámide. Tenemos que averiguarlo previamente, pero con un poco de ingenio todo se puede hacer:

Si colocamos un palo recto en A, observamos con un solo ojo a través de él y hacemos coincidir la punta de la pirámide con el palo, podremos saber dónde está el punto C situado. Y ahora sí, ya podemos saber la distancia AE. 

Una vez que tenemos AE, volvemos a plantear el teorema de Tales de la manera siguiente:

Donde la altura de la pirámide es EF. Problema resuelto otra vez. En en caso cualquier día, en el que se proyecte sombra, sería posible calcular la altura de la pirámide.

Hay más maneras averiguar la altura de la pirámide, pero así es como se piensa que ocurrió. Espero que te haya resultado interesante. Para cualquier pregunta, deja un comentario abajo.

Bye bye.