El curioso caso del "cumpleaños coincidente"

Hola amigos.

El post de hoy es muy sencillo, pero muy interesante. Os quiero hablar sobre una curiosidad de probabilidad de que siempre me ha llamado la atención y realmente nunca ha dejado de sorprenderme y estoy seguro de que a vosotros también os interesará. De hecho, al final de este post, os diré una manera fantástica de ganar una apuesta a tus amigos y dejarlos alucinados. En esta entrada encontraréis algunas formulas que quizás os resulten extrañas o tal vez familiares, dependiendo de vuestra formación, pero el objetivo no es explicar esas fórmulas, así que no voy a hablar de ello en profundidad. Así que sin más rodeos, empecemos.

La cuestión básica es calcular de manera exacta cuál es la probabilidad de que haya dos personas que cumplan años en un grupo determinado de personas el mismo día. Imaginaos que queréis saber cuál es probabilidad de que dos personas cumplan años en el mismo día. Primero hay que calcular la probabilidad de que NO cumplan años el mismo día y esto es:

La expresión expuesta es muy sencilla, el cociente representa dicha probabilidad,  porque hay 364 días posibles sobre 365 que no coincida. Por tanto la probabilidad de que SI cumplan en el mismo día es 1 menos ese resultado: 2,74%. Muy poca probabilidad, ¿verdad? Claro, es obvio. ¿Y qué pasaría con tres personas? Para calcularlo, hay que entender que la probabilidad de que ocurran dos sucesos independientes (independientes porque una posible coincidencia no influye en que pueda existir otra) es el producto de los mismos:

Prácticamente igual. ¿Y con cuatro?

Poca variación. Y con esto llegamos a la fórmula general para n personas:

Y por tanto la probabilidad de que SI coincidan es la siguiente:

Esta expresión no tiene mucho interés para lo que quiero contaros, pero es la expresión formal y es la que se usa para calcular la probabilidad que buscamos. Ya vimos lo que pasaba con dos y tres personas, que la probabilidad de que existan entre ellos dos personas que cumplan años en el mismo día era muy baja. Pero veamos más valores:

Para 15 personas → p=25,3%

Para 23 personas→ p=50,7%

Para 30 personas → p=70%

Fijaos en lo que acaba de pasar. En un grupo de personas de 30 individuos hay, un 70% de posibilidad de que haya dos personas que cumplan años en el mismo día. Sigamos:

Para 40 personas → p=89,1%

Para 60 personas → p=99,4%

¡Más del 99% si el grupo es de 60 personas! ¿No os parece extraño? Pues creedme que así es, no hay trampa ni ninguna clase de truco, es pura matemática: En un grupo de 60 personas hay una probabilidad del 99,4% de que haya dos personas que cumplan años en el mismo día. ¿Qué os parece?

Aquí os presento esta gráfica que muestra cómo varía dicha probabilidad con el número de personas y podéis ver que el crecimiento es muy pronunciado llegando al 100% a partir de 60 personas.

Personalmente he hecho la prueba con grupos de 35 personas aproximadamente, y siempre he ganado la apuesta sin ninguna excepción. Os animo a que lo intentéis vosotros y comprobéis si esto es cierto o no. Si para vosotros es imposible reunir un grupo tan numeroso, podéis hacer lo siguiente: si estáis en un grupo de 6 personas, podéis decir a cada una de ellas que escriba 7 fechas (día y mes) al azar en un papel y cuando estén todos, repasadlas todas. Estoy completamente seguro de que habrá alguna repetida. Por tanto, ganaréis la apuesta.

Espero que os haya interesado, os animéis a probar este sencillo experimento y que me contéis cómo os ha ido. Un saludo!